Studije harmonike i kompozicije završio je na Državnoj muzičkoj akademiji “A. V. Neždanova” (Odesa, Ukrajina) 2003. godine. Magistrirao je na Muzičkoj akademiji Univerziteta u Istočnom Sarajevu na multidisciplinarnim studijama iz predmeta Istorija i teorija  izvođaštva na harmonici i Analiza muzičkog djela 2011. godine. Magistrirao je i kompoziciju na Muzičkoj akademiji Univerziteta u Istočnom Sarajevu 2014. godine.
Kao student učestvovao je na brojnim koncertima, festivalima, konferencijama i drugim muzičkim manifestacijama. Kosorićeva djela izvođena su na koncertima studenata kompozicije u okviru Međunarodnog festivala-foruma „Prošlost i budućnost“ (Odesa, 2001. g.). Bio je učesnik IX Međunarodnog festivala „TWO DAYS AND TWO NIGHTS  OF NEW MUSIC“ (Odesa, 2003. g.). Osvojio je prvu nagradu na takmičenju kompozitora „GRADUS ad PARNASSUM“ u okviru VIII Međunarodnog foruma muzike mladih (Kijev, Ukrajina, 2003. g.).
Autor je simfonijske, kamerne, instrumentalne i vokalno-instrumentalne muzike. U okviru svog stvaralaštva najveću pažnju posvećuje harmonici. Djela su mu izvođena na brojnim koncertima, takmičenjima i festivalima u Ukrajini, Rusiji, Litvaniji, Poljskoj, Italiji, Slovačkoj, Austriji, Hrvatskoj, Srbiji, Sloveniji, Švedskoj i BiH.
Kompozicije D. Kosorića izvodili su, između ostalih: ukrajinski umjetnici Vladimir Murza (harmonika), Tatjana Kravčenko (klavir), Tatjana Hrikadze (harmonika), Irina Serotjuk (harmonika), Jelena Griščenko (klavir), Georgij Matvijiv (bandura), Tatjana Gordijčuk (bandura); Sonja Radojković (klavir), Jovan Bogosavljević (violina), Vladimir Marković (violin) iz Srbije; Dražen Košmerl (harmonika) i Ljubov Judčenko Košmerl (sopran) iz Hrvatske; Belma Šarančić Nahodović (harmonika), Stojan Bojić (harmonika), Dragan Ribić (harmonika), Klaudija Krkotić (sopran), Ognjen Janjanin (harmonika), Ljubo Škiljević (harmonika), Milana Smiljanić (violina), Milan Savić (klavir), Vanja Danilović (harmonika), Maja Đogo (klavir) iz BiH i dr. Sarađivao je i sa orkestrima, kao što su: Orkestar harmonika Ruske muzičke akademije “Gnjesini” (umjetnički rukovodilac i dirigent Oleg Tarasov), Nacionalni simfonijski orkestar (Odesa, Ukrajina, dirigent “Zaslužni umjetnik Ukrajine” Igor Šavruk), Gudački orkestar  Akademije umjetnosti u Banjoj Luci (dirigent Branka Radošević Mitrović), Orkestar Muzičke akademije Univerziteta u Istočnom Sarajevu (dirigent Ognjen Bomoštar) i Orkestar harmonika Muzičke akademije Univerziteta u Istočnom Sarajevu.
Kao kompozitor učestvovao je na Međunarodnom festivalu savremene umjetnosti „TWO DAYS AND TWO NIGHTS OF NEW MUSIC“ u Odesi (2003., 2005.,  2008., 2010 i 2015.. g.).
Osvojio je prva mjesta na takmičenju kompozitora u okviru Internacionalne manifestacije Dani harmonike u Smederevu - kategorije „A“ i „B“ (2004. g.); druga mjesta na istom takmičenju u kategoriji „A“ (2005., 2007. i 2008. g.) i drugo i treće mjesto u kategoriji “B” (2011. g.); Pohvalu za najefektnije savremeno delo domaćeg autora na XI Prolećnom festivalu kamerne muzike u Subotici (2004. g.); Diplomu laureata na II Međunarodnom takmičenju kompozitora za kamerne kompozicije s učešćem harmonike „Sanok 2005“ u Poljskoj.
Kompozicija D. Kosorića Pusta zemlja za harmoniku solo nagrađena je u kategoriji Best New Original Work (Classical) na 67. Svjetskom Kupu harmonike, održanom u Salzburgu (Austrija) od 27. oktobra do 2. novembra 2014. godine.
Na prazničnom koncertu Fakulteta narodnih instrumenata Ruske muzičke akademije “Gnjesini”, povodom 70 godina Akademije, Orkestar harmonika (umjetnički rukovodilac i dirigent – Oleg Tarasov) izveo je djelo D. Kosorića “Kolaž” za orkestar harmonika i udaraljke, kao jedinu tačku Orkestra harmonika na pomenutom koncertu.
Nacionalna simfonijski orkestar (Odesa, Ukrajina) premijerno je izveo Koncert za harmoniku i simfonijski orkestar D. Kosorića, 13. 03. 2015. god., u Odesi (Velika sala filharmonije). Dirigovao je “Zaslužni umjetnik Ukrajine” Igor Šavruk, a solista na harmonici je bio “Zaslužni umjetnik Ukrajine” Vladimir Murza.
U velikom amfiteatru Elektrotehničkog fakulteta Univerziteta u Istočnom Sarajevu, 27. 05. 2015. godine, održano je autorsko veče kompozitora Dražana Kosorića. Na koncertu su izvedena djela za solo instrumente, kamerne ansamble, soliste i gudački orkestar i orkestar harmonika. Učesnici su bili profesori i studenti Muzičke akademije Univerziteta u Istočnom Sarajevu i profesori Muzičke akademije u Sarajevu.
Kompozicije su mu objavljene u izdanjima Muzičke akademije Univerziteta u Istočnom Sarajevu i njemačke izdavačke kuće EDITION AVANTUS.
Muzička produkcija RTRS je izdavač njegovog prvog autorskog kompakt diska pod nazivom Epitaf  (2012. g.).
U produkciji BHT1 snimljena je dokumentarna emisija pod nazivom „Mojoj harmonici“, u kojoj se govori o harmonici i stvaralaštvu Dražana Kosorića za ovaj instrument. Emisija je premijerno emitovana povodom Svjetskog dana muzike (21. 06. 2014. god.) i u narednom periodu reprizirana u nekoliko navrata.
U produkciji RTS-ovog Radio Stereorama snimljena je jednočasovna emisija „Muzika s povodom“, posvećena kompozitorskom stvaralaštvu D. Kosorića. Nakon premijernog emitovanja 21. 02. 2015. godine, emisija je reprizirana 22. 02. 2015. godine. Autor emisije je Donata Premeru.
D. Kosorić je član Stručnog žirija i Stručnog odbora Internacionalnog festivala harmonike AKORDEON ART (Istočno Sarajevo, B i H, 2010., 2011., 2012., 2013. i 2014. g.) i član Organizacionog odbora istog festivala (2010., 2011., 2012. g.).  Učestvovao je u radu Stručnog žirija VII. Međunarodnog takmičenja akordeonista „Sanok 2006“ (Poljska).
Član je Asocijacije za njegovanje akademske muzike „Novi zvuk“ (Istočno Sarajevo, BiH) i Asocijacije „Nova muzika“ (Odesa, Ukrajina).
Pedagoški rad na Muzičkoj akademiji Univerziteta u Istočnom Sarajevu započeo je 2004. g.. Od 2012. g. je u nastavnom zvanju docenta.
Osnivač je i umjetnički rukovodilac Orkestra harmonika Muzičke akademije, sa kojim ima zabilježene nastupe na značajnim manifestacijama, kao što je Internacionalni festival harmonike „Akordeon art“ (2010., 2011., 2012., 2013. i 2014. g.).
Studenti u klasi D. Kosorića (harmonika i kamerna muzika) osvojili su više nagrada na domaćim i međunarodnim takmičenjima, kao što su: 17. Takmičenje muzičkih škola Republike Srpske (Banja Luka), Deveto takmičenje učenika i studenata muzike (Livno), 15. Otvoreno federalno takmičenje učenika i studenata muzike (Sarajevo), 35. Međunarodni susret harmonikaša (Pula), Davorin Jenko (Beograd), , Dani harmonike (Ugljevik), Akordeon art (Istočno Sarajevo) i dr.
Dobitnik je PRIZNANJA dekana Muzičke akademije Univerziteta u Istočnom za uspješno promovisanje Muzičke akademije na domaćoj i međunarodnoj koncertnoj sceni (2008., 2010. i 2011. g.) i PRIZNANJA za ostvarene rezultate studenata na domaćim i međunarodnim takmičenjima (2013. i 2014. g.).
Dobitnik je PLAKETE UNIVERZITETA za dostignuća u nastavnoj i naučnoj djelatnosti Univerziteta, kao i za dugogodišnji uspješan rad na Muzičkoj akademiji Univerziteta u Istočnom Sarajevu (2014. g.).